Makalah Integral Parsial

Hai bloggers, welcome back to my site. Kali ini saya akan mengisi blog mengenai Makalah yang saya buat mengenai integral parsial. Let's check it out.

Bab I. Pendahuluan

          Integral parsial adalah cara menyelesaikan integral yang memuat perkalian fungsi, tetapi tidak dapat diselesaikan secara substitusi biasa. Integral parsial memiliki dua variabel pembantu yaitu (u) dan (v). Variabel (u) dan (v) ini dapat membantu perhitungan nilai dua perkalian bilangan yang akan diintegralkan. Bilangan tersebut memiliki perkalian integral khusus yang tidak dapat digunakan pada integral subtitusi.

            Berikut ini adalah rumus dari integral parsial :

            d.(uv) = u.dv + v.du

            u.dv = d.(uv) – v.du

            ∫u.dv = ∫d.(uv) - ∫v.du = u.v - ∫v.du

Pada rumus diatas biasanya dalam soal kita memiliki bilangan (u) dan (dv). Bilangan (u) akan diturunkan menjadi (du) sedangkan (dv) akan diintegralkan menjadi bilangan (v). Sehingga akan menemukan empat bilangan yang akan dimasukan kedalam rumus integral parsial sehingga nilai dari integral (u) dikali (dv) sama dengan (u) dikalikan dengan (v) dikurangi integral (v) dikali (du).

Bab II. Definisi Integral Parsial

          Integral Parsial adalah suatu cara untuk menaikan pangkat suatu bilangan dua perkalian fungsi yang berbeda sehingga fungsi bilangan tersebut dapat menaikan pangkatnya (diintegralkan). Integral parsial dihubungkan dengan fungsi bilangan (u) dan (dv) yang fungsi tersebut akan dikali dan diintegralkan sesuai dengan aturan rumus integral parsial.

            Integral Parsial memiliki cara khusus dimana dua bilangan fungsi dari (u) dan (dv) akan dihitung untuk mencari penurunan pangkat dari (u) atau biasa disebut (du) dan mencari kenaikan pangkat (dv) atau biasa disebut (v). Bilangan fungsi-fungsi diatas memiliki hubungan yang sangat penting dalam integral parsial

            Sering kali terdapat banyak pendapat yang menyatakan bahwa integral parsial hampir sama penyederhanaannya seperti integral subtitusi. Padahal dalam konsep penyederhanaan integral parsial lebih rumit dibandingkan integral subtitusi. Integral parsial menyederhanakan fungsi dengan pemilihan fungsi yang akan diturunkan dan yang akan diintegralkan untuk membuat fungsi-fungsi baru yang akan digunakan pada rumus integral parsial.

                                    

Bab III. Rumus Integral Parsial

Integral parsial memiliki rumus umum seperti :

Dimana dalam rumus diatas kita harus memilih salah satu fungsi (u) pada soal dan fungsi sisanya sebagai (dv). Saat mengerjakan integral parsial, kita perlu memilih fungsi (u) yang tepat dengan syarat (u) diturunkan hasil turunannya akan lebih sederhana dari (u) sendiri. Contoh-contohnya untuk turunan dibawah ini :

1. F(x) = ln x → F(x)’ = 1/x

2. F(x) = x² → F(x)’ = 2x

3. F(x) = e^2x → F(x)’ = 2.e^2x

Turunan (u) diatas akan digunakan dalam rumus integral parsial ∫ u.dv = u.v - ∫ v.du . Dengan (u) sebagai F(x) dan (du) sebagai F(x)'. Dan untuk fungsi (v) dan (dv) dalam soal kita memilih fungsi (dv) dengan syarat (dv) diintegralkan sehingga membentuk (v). Contoh-contohnya untuk integral dibawah ini :

1. ∫ 3x² = (3/3).x³ → x³ + C

2. ∫ sin x = cos x + C

            Setalah menemukan turunan (u) menjadi (du) dan integral (dv) menjadi (v). Nilai akan siap dimasukan ke dalam rumus integral parsial. Sebagai contoh perhatikan soal contoh dibawah ini :

1. ∫ x².(x + 3)² = ∫ x² . (x² + 6x + 9)

Untuk (u) kita mengambil fungsi x² dan (dv) adalah (x + 3)² atau (x² + 6x + 9) sehingga :

(u) = x²  → (du) = 2x

(dv) = (x+3)² = (x² + 6x + 9) → (v) = (1/3 x³ + 3x² + 9x)

Setelah menemukan (u), (du), (dv), dan (v) soal siap untuk dimasukan ke dalam rumus integral parsial menjadi :

∫ u.dv = u.v - ∫ v.du

∫ x².(x+3)² = (x²). (1/3 x³ + 3x² + 9x) - ∫ (1/3 x³ + 3x² + 9x). (2x)

∫ x².(x+3)² = (1/3 x⁵ + x⁴ + 9x³) - ∫ (2/3 x⁴ + 6x³ + 18x²)

∫ x².(x+3)² = (1/3 x⁵ + x⁴ + 9x³) – (10/3 x⁵ + 3/2 x⁴ + 6x³)

∫ x².(x+3)² = (- 9/3 x⁵ – 3/2 x⁴ + 3x³)

Jadi integral parsial dari ∫ x².(x+3)² hasilnya (- 9/3 x⁵ – 3/2 x⁴ + 3x³).

Bab IV. Contoh Latihan Soal

1.     

Jawaban :

Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u. Secara umum, pedomannya adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana. Untuk kasus ini, pilihlah 

  

Karena memilih   berarti 

  

Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial

  

2.     

Jawaban :

Ada dua kemungkinan untuk memisalkan u, yaitu   atau  . Tetapi kita memilih   karena turunannya lebih sederhana dibanding  .

Jadi misalkan :

  

Lalu

  

Lakukan substitusi u dan v

  

3.     

Jawaban :

Kita dapat memilih   atau  , tetapi mengingat pedoman permisalan fungsi u yang dijelaskan di atas, maka kita memilih   sehingga 

Jadi lakukan permisalan :

  

Lalu :

  

Lakukan substitusi

  

4.     

Jawaban :

Melihat soal diatas, ada 2 fungsi yang bisa dijadikan u. Lalu dengan mempertimbangkan prioritas permisalan, kita memilih   dan 

  

Lalu

  

Lakukan substitusi integral parsial

  

Bentuk   menyebabkan kita harus sekali lagi melakukan metode integral parsial. Jadi lakukan permisalan :

  

Dan sama seperti sebelumnya

  

Lakukan substitusi sekali lagi melanjutkan yang tadi

  

5.     

Jawaban :

Berdasarkan pedoman permisalan, lakukan permisalan   dan 

  

Lalu :

  

Lakukan substitusi menggunakan integral parsial

  

Lakukan proses integral parsial sekali lagi pada persamaan  , kali ini dengan memilih   lagi, dengan  . Karena persamaan u sama, langsung saja ke persamaan dv.

  

Substitusi untuk 

  

Tulis lagi persamaan semula, dan lakukan substitusi

  

6.     

Jawaban :

Lakukan permisalan   dan 

  

  

Substitusikan ke rumus integral parsial

  

Untuk menyelesaikan bentuk diatas, kita perlu melakukan substitusi biasa. Kita misalkan  .

  

Lanjutkan substitusi.

  

7.     

Jawaban :

Sesuai dengan prioritas permisalan, maka kita pilih persamaan   dan  .

  

Dan

  

Masukkan ke dalam rumus integral parsial

  

8.     

Jawaban :

Misalkan   sehingga 

Lalu   sehingga  . Setelah itu masukkan ke rumus integral parsial.

  

Misalkan lagi untuk melakukan integral parsial pada  . Kali ini pilihlah   sehingga  .

Lalu   sehingga   dan masukkan kembali ke rumus integral parsial

  

Karena masih ada bentuk integral parsial di penyelesaian, maka misalkan sekali lagi. Kali ini   sehingga  .

Lalu   sehingga  . /p>

Masukkan ke rumus integral parsial lagi

  

9.     

Jawaban :

Misalkan   dan  . Cari nilai du terlebih dahulu.

  

Lalu cari nilai v

  

Masukkan ke rumus integral parsial

  

10. 

Jawaban :

  

Misalkan   sehingga   dan   sehingga  .

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

V. Kesimpulan dan Saran

            Integral Parsial adalah suatu cara dimana mengerjakan soal-soal perkalian integral dengan dua fungsi yang berbeda. Integral Parsial menggunakan fungsi u dan dv. Pada integral Parsial dua fungsi tersebut akan diubah untuk menemukan dua hasil fungsi yang baru yang akan digunakan pada rumus Integral Parsial.

Daftar Pustaka

http://id.wikipedia.org/wiki/Integral

http://solusi-sain.blogspot.com/2011/08/integral-parsial.html

http://coolkidshare.blogspot.com/2011/12/kumpulan-rumus-integral.html

www.slideshare.net/alfurofika/integral-parsial